Problemi di ottimizzazione

I problemi di ottimizzazione chiedono di trovare il valore massimo o minimo di una grandezza, sotto certi vincoli. Si risolvono con le derivate.

1. Identifica la grandezza da ottimizzare (es: area, costo, tempo).
2. Esprimila in funzione di una sola variabile (eliminando le altre con i vincoli).
3. Calcola la derivata e annullala per trovare i punti stazionari.
4. Verifica se sono massimi o minimi (segno della derivata seconda, o studio del segno della prima).
5. Concludi tornando al contesto originale.

Devo costruire un rettangolo con perimetro $40$ m. Quale ha area massima?

1. Variabili: base $b$, altezza $h$. Vincolo: $2b+2h=40\to h=20-b$.
2. Area: $A(b)=b\cdot h=b(20-b)=20b-b^2$.
3. $A^{\prime }(b)=20-2b$. Annullo: $b=10$.
4. A''(b) = -2 < 0: massimo.
5. Quindi $b=10$ e $h=10$: il rettangolo è un quadrato! Area massima: $100$ m².

Tra tutti i rettangoli con perimetro fissato, il quadrato ha area massima. È un risultato classico, ma vale la pena ricavarlo da soli.