Il metodo di Newton

Il metodo di Newton (o Newton-Raphson) trova in modo iterativo le radici di un'equazione $f(x)=0$. È molto rapido — di solito convergente in pochi passi.

Parto da un'approssimazione iniziale $x_0$. Poi:

1. Trovo la tangente al grafico in $(x_0,f(x_0))$.
2. Vedo dove la tangente incrocia l'asse $x$. Quel punto è la nuova approssimazione $x_1$.
3. Ripeto.

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

Ogni iterazione si avvicina di più alla radice (purché $x_0$ sia abbastanza vicino e $f$ sia ben fatta).

Voglio risolvere $f(x)=x^2-2=0$. $f^{\prime }(x)=2x$. Formula: $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}$.

Parto da $x_0=1$:

• $x_1=0,5+1=1,5$.
• $x_2=0,75+0,\overline{6}\approx 1,4167$.
• $x_3\approx 1,41422$. (Già $\sqrt{2}\approx 1,41421\dots$.)

In tre iterazioni, $5$ cifre giuste.