Integrazione per sostituzione

L'integrazione per sostituzione è una tecnica che riconduce un integrale complicato a uno semplice cambiando variabile. È la versione "all'incontrario" della regola della catena.

$$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$$

dove $u=g(x)$ e $du=g^{\prime }(x)dx$.

Pongo $u=x^2$, allora $du=2xdx$. L'integrale diventa:

$$\int \cos (u)du=\sin (u)+c=\sin (x^2)+c$$

Pongo $u=1+x^2$, allora $du=2xdx$, cioè $xdx=\frac{du}{2}$:

$$\int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{2}\ln |u|+c=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+c$$

Quando vedi un integrando della forma "qualcosa di complicato dentro una funzione, e fuori c'è la sua derivata", la sostituzione semplifica tutto. Riconoscere questi schemi viene con la pratica.