Integrazione per parti

L'integrazione per parti è una tecnica che trasforma un integrale difficile in uno (si spera) più semplice. La formula è:

$$\int udv=u\cdot v-\int vdu$$

Deriva dalla regola del prodotto delle derivate: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, integrata.

Funziona bene quando l'integrando è un prodotto di due funzioni, e si può scegliere quale "diventa $u$" (da derivare) e quale "diventa $dv$" (da integrare). L'idea: scegli $u$ in modo che $du$ sia più semplice.

Scelgo $u=x$ (derivata $du=dx$, semplice) e $dv=\cos xdx$ (primitiva $v=\sin x$).

Applicando la formula:

$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c$$

Per scegliere $u$, segui l'ordine LIATE (logaritmica, inversa trigonometrica, algebrica, trigonometrica, esponenziale): la prima che incontri nell'integrando va presa come $u$.

• Logaritmica: $\ln x$
• Inversa trigonometrica: $\arctan x$
• Algebrica: $x^n$
• Trigonometrica: $\sin x$, $\cos x$
• Esponenziale: $e^x$