Integrali di funzioni razionali fratte

Un integrale fratto ha la forma $\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$, con $P$ e $Q$ polinomi. Per risolverlo si usa il metodo dei fratti semplici.

Se la frazione algebrica si può "spezzare" in frazioni più semplici (con denominatori di primo grado o quadratiche irriducibili), ognuna si integra facilmente.

$\int \frac{1}{x^2-1}dx$.

Scompongo: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Cerco $A$ e $B$ tali che:

$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$.

Moltiplicando: $1=A(x+1)+B(x-1)$.

Per $x=1$: $1=2A\to A=\frac{1}{2}$.
Per $x=-1$: $1=-2B\to B=-\frac{1}{2}$.

Quindi:

$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx$

$=\frac{1}{2}\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln |x+1|+c=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+c$.

Si applica quando il grado del numeratore è minore del grado del denominatore. Se non lo è, prima si fa la divisione lunga.