Quinta superiore · 4 min

Integrali applicati alla cinematica

Da accelerazione a velocità a posizione: gli integrali raccontano il moto.

Nella cinematica, la relazione tra accelerazione, velocità e posizione si esprime con derivate (per andare "giù") e integrali (per "tornare su").

La gerarchia

Posizione $s (t)$ .
Velocità $v (t) = s^{'} (t)$ (derivata della posizione).
Accelerazione $a (t) = v^{'} (t)$ (derivata della velocità).

Andando "all'indietro" (con integrali):

$v (t) = \int a (t) d t + v_{0}$
$s (t) = \int v (t) d t + s_{0}$

Esempio: caduta libera

Una palla in caduta libera ha accelerazione costante $a = g \approx 9, 81$ m/s² (verso il basso).

$v (t) = \int g d t = g t + v_{0}$ . Se parte da ferma, $v_{0} = 0$ : $v (t) = g t$ .

$s (t) = \int g t d t = \frac{1}{2} g t^{2} + s_{0}$ .

La famosa formula $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ del moto uniformemente accelerato.

Spostamento da velocità

Se conosci $v (t)$ e vuoi lo spostamento totale tra $t_{1}$ e $t_{2}$ :

$Δ s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$ .

Geometricamente: l'area sotto il grafico velocità-tempo.