Integrali: area tra due curve

Generalizzando l'integrale come area sotto una curva, possiamo calcolare l'area racchiusa tra due curve $y=f(x)$ e $y=g(x)$.

Se $f(x)\ge g(x)$ in $[a,b]$:

$$\text{Area}={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$

Cioè: integrare la differenza tra la "curva sopra" e la "curva sotto".

Trova l'area racchiusa tra $y=x^2$ e $y=2x$.

1. Trovo i punti di intersezione: $x^2=2x\to x=0$ o $x=2$.
2. Tra $0$ e $2$: chi sta sopra? In $x=1$, $y_{\text{retta}}=2$, $y_{\text{parabola}}=1$. La retta sta sopra.
3. Area: ${\int }_0^2(2x-x^2)dx=[x^2-\frac{x^3}{3}{]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.