Integrali impropri

Un integrale è improprio quando l'intervallo è infinito o l'integrando ha un asintoto verticale nell'intervallo. Si calcola con un limite.

$${\int }_1^{+\infty }f(x)dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_1^{b}f(x)dx$$

Se il limite esiste finito, l'integrale converge. Se è $\infty$, diverge.

${\int }_1^b\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b=-\frac{1}{b}+1$.

${\lim }_{b\to +\infty }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$. Converge a $1$.

${\int }_1^b\frac{1}{x}dx=\ln b-\ln 1=\ln b$.

${\lim }_{b\to +\infty }\ln b=+\infty$. Diverge.

Differenza interessante: $\frac{1}{x}$ va a $0$ ma "troppo lentamente" perché l'integrale converga; $\frac{1}{x^2}$ scende abbastanza in fretta.

${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$. La funzione esplode in $x=0$. Si calcola come ${\lim }_{a\to 0^{+}}{\int }_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx={\lim }_{a\to 0^{+}}(2-2\sqrt{a})=2$. Converge.