Eventi incompatibili e probabilità

Due eventi sono incompatibili (o disgiunti) quando non possono accadere insieme. Per esempio, in un lancio di dado: "ottenere $3$" e "ottenere $5$" sono incompatibili — non possono succedere entrambi.

Per eventi incompatibili $A$ e $B$:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

Esempio: probabilità di ottenere $3$ o $5$ con un dado. $P(3)=\frac{1}{6}$, $P(5)=\frac{1}{6}$. Quindi $P(3\text{ o }5)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Quando $A$ e $B$ possono accadere insieme, la formula generale è:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Bisogna sottrarre l'intersezione, altrimenti la "doppio-conti".

Pesco una carta da un mazzo di $52$. Probabilità che sia un asso o un cuore?

$P(\text{asso})=\frac{4}{52}$, $P(\text{cuore})=\frac{13}{52}$.

Ma esiste l'asso di cuori, contato in entrambi! $P(\text{asso e cuore})=\frac{1}{52}$.

$P(\text{asso o cuore})=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$.

Caso speciale: $A$ e $\bar{A}$ (il "non $A$") sono incompatibili e coprono tutto. Quindi $P(A)+P(\bar{A})=1$, da cui $P(\bar{A})=1-P(A)$.