Derivate delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche hanno derivate molto eleganti. Sono da memorizzare: rispuntano costantemente.

• $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$
• $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$
• $\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$
• $\frac{d}{dx}\cot x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

• $\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

Le derivate di seno e coseno fanno un "ciclo" di lunghezza 4:

$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \to \dots$

Ogni derivata "sposta" di un passo nel ciclo.

$\frac{d}{dx}\sin (2x+1)=\cos (2x+1)\cdot 2=2\cos (2x+1)$.

$\frac{d}{dx}\arctan (x^2)=\frac{1}{1+x^4}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}$.