Derivata della funzione logaritmica

La derivata del logaritmo naturale $\ln x$ è:

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$

Una formula meravigliosamente semplice. Definita per x > 0.

Per ${\log }_{a}x$ con $a$ generico:

$$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln a}$$

Compare di nuovo $\ln a$. Per $a=e$, $\ln e=1$, ottieni $\frac{1}{x}$.

$\frac{d}{dx}\ln (f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$. Esempio: $\frac{d}{dx}\ln (x^2+1)=\frac{2x}{x^2+1}$.

Esponenziale e logaritmo sono inverse. Le loro derivate sono "specchio l'una dell'altra":

• $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$ (la funzione stessa)
• $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$ (l'inverso della $x$)