Derivata implicita

Quando un'equazione lega $x$ e $y$ in modo non esplicito (es: $x^2+y^2=25$, il cerchio), non è sempre facile esprimere $y$ in funzione di $x$. La derivata implicita ti permette di calcolare $\frac{dy}{dx}$ senza isolare $y$.

1. Deriva entrambi i membri dell'equazione rispetto a $x$.
2. Quando deriva un termine che contiene $y$, applica la regola della catena: $y$ è una funzione di $x$, quindi la derivata di $y^n$ è $n{y}^{n-1}\cdot y^{\prime }$.
3. Risolvi rispetto a $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$.

Derivo entrambi:

$2x+2y\cdot y^{\prime }=0$

(la derivata di $y^2$ è $2y\cdot y^{\prime }$ per la regola della catena.)

Risolvo: $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$.

Esempio: pendenza al punto $(3,4)$ del cerchio: $y^{\prime }=-\frac{3}{4}$.

$x^{2}y+x{y}^3=6$.

Derivo:

$2xy+x^2{y}^{\prime }+y^3+3x{y}^2\cdot y^{\prime }=0$

Raccolgo $y^{\prime }$: $y^{\prime }(x^2+3x{y}^2)=-2xy-y^3$

$y^{\prime }=\frac{-2xy-y^3}{x^2+3x{y}^2}$.