Derivata della funzione esponenziale

La funzione esponenziale $e^x$ ha una proprietà unica e meravigliosa:

$$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$$

La sua derivata è uguale a sé stessa. Questo è il motivo principale per cui $e\approx 2,71828\dots$ è una "costante speciale".

Per una base generica a > 0:

$$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\cdot \ln a$$

Compare un fattore $\ln a$. Per $a=e$, $\ln e=1$, e ottieni $e^x$ — niente fattore.

$\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$. Esempio: $\frac{d}{dx}{e}^{3x}=3e^{3x}$. $\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=2x\cdot e^{x^2}$.

$f^{\prime }(x)=f(x)$ significa che la velocità di crescita è proporzionale al valore. È esattamente la situazione tipica di una crescita esponenziale: una popolazione cresce in proporzione alla sua dimensione, l'interesse composto matura in proporzione al saldo, e così via.