Derivata di una funzione composta

Quando una funzione è una composizione di altre — per esempio $\sin (x^2)$ o $\sqrt{1+x^2}$ — la derivata si ottiene con la regola della catena.

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

"Deriva la funzione esterna lasciando la sua variabile invariata, poi moltiplica per la derivata della funzione interna." Si chiama "catena" perché si srotola partendo da fuori.

La esterna è $\sin$, la interna è $x^2$.

• Derivata di $\sin (\cdot )$ è $\cos (\cdot )$. Applicata in $x^2$: $\cos (x^2)$.
• Derivata di $x^2$ è $2x$.
• Risultato: $\cos (x^2)\cdot 2x=2x\cos (x^2)$.

• Esterna $e^{(\cdot )}$, interna $3x$.
• Derivata esterna: $e^{(\cdot )}$. Applicata in $3x$: $e^{3x}$.
• Derivata interna di $3x$: $3$.
• Risultato: $3e^{3x}$.

Riscrivi come $(1+x^2{)}^{1/2}$.

• Esterna $(\cdot {)}^{1/2}$, derivata $\frac{1}{2}(\cdot {)}^{-1/2}$. In $1+x^2$: $\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}$.
• Derivata interna: $2x$.
• Risultato: $\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.