Concavità e convessità

Una funzione si dice convessa (concava verso l'alto) se il suo grafico è "a U", concava (concava verso il basso) se è "a ∩". La derivata seconda lo dice subito.

• f''(x) > 0: $f$ è convessa (a U).
• f''(x) < 0: $f$ è concava (a ∩).
• $f^{\prime \prime }(x)=0$ con cambio di segno: punto di flesso.

• $f(x)=x^2$: f'' = 2 > 0 ovunque. Convessa ovunque (parabola a U).
• $f(x)=-x^2$: f'' = -2 < 0 ovunque. Concava ovunque (parabola a ∩).
• $f(x)=x^3$: $f^{\prime \prime }=6x$. Negativa per x < 0 (concava), positiva per x > 0 (convessa). Flesso in $x=0$.

In un punto stazionario $x_0$ (dove $f^{\prime }(x_0)=0$):

• Se f''(x_0) > 0: $x_0$ è minimo locale.
• Se f''(x_0) < 0: $x_0$ è massimo locale.
• Se $f^{\prime \prime }(x_0)=0$: test inconcludente, devi guardare derivate superiori.