I numeri primi nella vita reale

I numeri primi non sono solo curiosità matematica: sono alla base della sicurezza informatica e di tantissime tecnologie quotidiane.

L'RSA è uno degli algoritmi crittografici più usati al mondo. Si basa su questo fatto:

• Moltiplicare due numeri primi grandi ($p\cdot q$) è banale.
• Fattorizzare il prodotto (trovare $p$ e $q$ partendo da $pq$) è computazionalmente impossibile se $p$ e $q$ sono molto grandi.

Quando compri online o usi WhatsApp, dietro le quinte ci sono primi con centinaia di cifre.

Il più grande primo conosciuto (al 2024) è $2^{82589933}-1$, un numero con oltre $24$ milioni di cifre. Si chiama "primo di Mersenne".

I primi sono "rarefatti" tra i numeri grandi, ma esistono sempre. Il teorema dei numeri primi dice che vicino a $n$, la "densità" di primi è circa $\frac{1}{\ln n}$. Quindi tra $1$ e $1000$ ci sono circa $1000/\ln (1000)\approx 145$ primi.

Una delle più famose congetture aperte: ogni numero pari maggiore di $2$ è la somma di due primi. È stata verificata fino a numeri enormi, ma nessuno ha ancora trovato una dimostrazione.