Numeri decimali: limitati, periodici, non periodici

I numeri decimali si dividono in tre categorie a seconda di come si comporta la loro espansione decimale.

Hanno un numero finito di cifre dopo la virgola. Esempi: $0,5$, $3,14$, $0,125$.

Tutti i decimali limitati si possono scrivere come frazioni con denominatore una potenza di $10$: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$.

Hanno un gruppo di cifre che si ripete all'infinito. Esempi: $0,333\dots =0,\overline{3}$ (periodo $3$), $0,142857142857\dots =0,\overline{142857}$.

Tutti i decimali periodici sono numeri razionali: si possono scrivere come frazioni.

Hanno infinite cifre che non si ripetono mai. Esempi: $\sqrt{2}=1,41421356\dots$, $\pi =3,14159265\dots$, $e=2,71828182\dots$.

Sono numeri irrazionali: NON si possono scrivere come frazione.

• Limitati o periodici → razionali ($\mathbb{Q}$).
• Non periodici → irrazionali.
• Tutti insieme → reali ($\mathbb{R}$).