Teorema fondamentale dell'aritmetica

Il teorema fondamentale dell'aritmetica dice: ogni numero naturale maggiore di $1$ può essere scritto in un unico modo come prodotto di numeri primi.

Per scomporre un numero, lo dividi più volte per i suoi divisori primi più piccoli, finché arrivi a $1$.

Esempio: $60$.

• $60÷2=30$
• $30÷2=15$
• $15÷3=5$
• $5÷5=1$

Quindi $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^2\cdot 3\cdot 5$.

Se due persone scompongono lo stesso numero, devono ottenere esattamente gli stessi fattori primi (ignorando l'ordine). $60$ è sempre $2^2\cdot 3\cdot 5$ — non c'è alternativa.

La scomposizione in fattori primi è la base per:

• Calcolare MCD e mcm.
• Semplificare frazioni.
• Fare verifiche di divisibilità.
• Tantissima crittografia moderna (la sicurezza delle chiavi RSA dipende dalla difficoltà di scomporre numeri molto grandi).